Je partage ici mon questionnement sur l’utilisation des schémas en résolution de problèmes : pas de réponse toute faite trouvée à ce jour, simplement plusieurs pistes explorées, pour que les schémas ne soient pas un simple “passage obligé” dans la résolution de problèmes, mais soient, quand ils sont utilisés, une réelle aide.

Le rôle des schémas

Je me suis d’abord questionnée sur le rôle de l‘utilisation de schémas dans la résolution de problèmes : en effet, souvent, on dit aux élèves “fais un schéma, ça va t’aider” : mais quelle aide réelle peuvent apporter les schémas en résolution de problèmes ?

Voici ce que j’ai listé à ce jour (liste à compléter, enrichir !) :

  • Libérer la mémoire de travail, garder des traces des différentes informations de l’énoncé;
  • Construire une représentation d’un problème (et pour nous : voir la représentation qu’ils ont de l’énoncé !);
  • Mettre en oeuvre une procédure pour résoudre le problème, organiser sa recherche;
  • Vérifier grâce au schéma si un résultat trouvé correspond bien au problème posé;
  • Aider à construire des analogies entre des problèmes, et ainsi à progresser dans l’abstraction.

Faire évoluer les schémas des élèves

J’essaye régulièrement de partir des schémas des élèves, en les comparant, en les faisant évoluer.

On analyse les schémas de chacun, on les compare, et on se questionne ensemble :

  • Qu’est-ce que vous comprenez de ce schéma ?
  • Qu’est-ce qui est pareil, différent entre les schémas que vous avez faits ?
  • Est-ce que selon vous ce schéma représente bien le problème : ce que l’on connaît ? Ce que l’on cherche ? Ce que l’on comprend de l’énoncé ?
  • Qu’est-ce qu’on pourrait-faire pour l’améliorer, pour que ce schéma soit efficace ?

En fait, j’essaye, dans cette manière de faire, de voir les schémas comme des “écrits de travail”, des écrits brouillons, qu’on pourrait faire évoluer, améliorer afin qu’il soient une aide réelle à la résolution : que l’évolution du schéma développe en même temps la représentation que l’élève a du problème.

Je détaille quelques pistes que j’ai testées ci-dessous :

Progresser dans la compréhension du problème en comparant leurs schémas

Pour le problème de composition ci-dessous, nous avons comparé différents schémas réalisés par des élèves.

Sophie et Tom ont récolté 30 bonbons pour Halloween : il y a des bonbons à la fraise, et des bonbons au caramel.

Il y a 13 bonbons à la fraise.

Combien de bonbons au caramel ont-ils récoltés ?

Nous avons pu mettre en évidence que :

Le schéma de l’élève A faisait bien apparaître les données de l’énoncé, mais pas le fait que 30 était le nombre total de bonbons.

Le schéma de l’élève B mettait plus en évidence l’inclusion des parties dans l’ensemble, mais que les données apparaissaient moins clairement.

Nous avons ainsi construit un schéma en mixant les bonnes idées de chacun :

Aider les élèves à repérer et mémoriser “ce que l’on sait”, « ce que l’on cherche »

Pour le problème de transformation suivant :

Tom avait 12 billes avant la récréation, il en a maintenant 31. Combien en a-t-il gagnées ?

Un élève avait fait ce schéma :

Le souci est qu’au fur et à mesure de l’énoncé, l’élève ne savait plus à quoi correspondait les nombres, ce qu’il devait chercher.

Nous avons alors re-organisé son schéma pour que les données de l’énoncé soient plus structurées :

Sélectionner les informations pertinentes dans leurs schémas

Nous avons essayé de simplifier ensemble ce qui ne servait pas à résoudre le problème, en se demandant, pour chaque élément dessiné, s’il était utile ou pas : on les aide ainsi à passer du dessin à un schéma mathématique.

Le dessin de l’élève avant :

Le schéma après réflexion collective :

Utiliser des schémas en lien avec les structures de problèmes

Les schémas de Vergnaud : des schémas pour des catégories de problèmes

La schématisation de Vergnaud, en lien avec sa catégorisation, reste une référence pour moi, en tout cas pour avoir une catégorisation claire des problèmes que je travaille avec les élèves : j’en parle ici plus précisément.

Cependant, l’utilisation d’une classification imposée et de modèles de schémas en lien avec cette classification peut générer différents soucis : notamment une utilisation des schémas de manière plaquée sans recherche de sens, sans chercher à construire une vraie représentation du problème. Les élèves risquent alors d’être uniquement dans “une recherche du bon schéma” et pas dans une réelle résolution.

Alors j’ai décidé d’aller creuser d’autres manières de faire afin de compléter cette approche, de faire évoluer ma pratique…

Chercher un schéma pour plusieurs problèmes de même structure

Afin de faire évoluer les élèves dans une représentation des problèmes mathématiques, je travaille régulièrement sur des “problèmes isomorphes” (je détaille ici, dans la dernière partie). Les élèves ont à disposition plusieurs problèmes de même structure avec mêmes nombres utilisés, ils les lisent tous et en choisissent un à résoudre.

C’est intéressant alors de demander aux élèves de trouver un schéma qui peut être commun à ces différents problèmes isomorphes.

Cela permet en effet qu’ils ne restent pas “collés” à des détails superficiels des problèmes, de sortir du contexte de chaque énoncé afin de comprendre les structures mathématiques profondes, communes à l’ensemble de ces problèmes.

Par exemple pour les trois problèmes ci-dessous :

Problème1

J’ai acheté des chocolats. Ils sont rangés dans 4 boîtes.

Dans chaque boîte, il y a 9 chocolats.

Combien y a-t-il de chocolats en tout ?

 

Problème 2

Les géraniums sont vendus par barquette de 9.

J’ai acheté 4 barquettes.

Combien de géraniums vais-je planter ?

 

Problème 3

Mon petit frère range toutes ses voitures en 4 rangées.

Il met 9 voitures dans chaque rangée.

Combien a-t-il de voitures ?

 

Nous avons fait, avec un groupe d’élèves, la schématisation suivante :

Puis, afin de gagner en rapidité et d’aller vers des procédures de calcul :

Travailler la flexibilité dans l’utilisation des schémas

Par rapport à un problème donné, je leur propose différents schémas possibles.

Par exemple, pour le problème de composition suivant :

Dans la classe, il y a 26 enfants, dont 12 filles.

Combien y a -t-il de garçons ?

Je leur ai proposé les schémas suivants :

L’avantage ici est de leur permettre d’avoir plusieurs représentations possibles d’un même énoncé, de ne pas être “figé” dans une manière d’aborder le problème.

Les enfants ont ensuite des exemples de schémas à disposition. Dans d’autres problèmes, ils pourront se demander  quel schéma serait le plus utile, leur paraît le mieux adapté à la situation.

 

D’autre part, c’est intéressant de se rendre compte que parfois, un problème, qui serait au départ classé comme un problème de “transformation”, sera plus facile à résoudre si on le schématise comme un problème de “composition”; comme dans l’exemple suivant :

Au début de la récréation, Sophie avait 35 billes. A la fin elle en a 8.

Combien de billes a-t-elle perdues ?

Dans cet exemple, l’idée intuitive que “soustraire, c’est enlever, retirer” peut ici devenir un obstacle à la résolution. Le schématiser comme un problème de transformation peut parfois ne pas du tout aider les élèves.

Le fait de “remplacer” le schéma “intuitif” qui serait un schéma de transformation, par un schéma de composition va permettre aux élèves de le résoudre plus facilement :

Il s’agit maintenant de voir ce problème comme un problème partie-tout :

Parmi toutes les billes :

– il y a celles que Sophie a perdues (ce que l’on cherche)

– et il y a celles qu’elle a à la fin

C’’est ainsi beaucoup plus facile pour les élèves de voir ici que le problème revient à se demander “Quel est l’écart entre les 35 billes au départ et les 8 billes de la fin ?” et donc peut se résoudre par l’opération “35-8 = …”.

Si vous souhaitez creuser ce sujet (qui s’appelle le “recodage sémantique”) vous pouvez lire les liens ci-dessous :

https://www.snuipp.fr/system/resources/W1siZiIsIjIwMTcvMTEvMjUvMXcxMGh0d3diOV9FLlNhbmRlci5wZGYiXV0/E.Sander.pdf

https://www.cnesco.fr/fr/numeration/paroles-dexperts/resolution-de-problemes-et-operations/

 

D’autres liens pour creuser ce sujet :

https://www.cairn.info/revue-la-nouvelle-revue-de-l-adaptation-et-de-la-scolarisation-2006-1-p-95.htm

https://journals.openedition.org/pratiques/1396

 

Si vous avez aussi réfléchi sur la schématisation en résolution de problèmes, n’hésitez pas à rajouter vos idées dans les commentaires !

Schématisation et résolution de problèmes

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *